Matematika hudby
10. 2. 2012
Většinu z nás ještě překvapuje zjištění, že i hudba se svými vášněmi a city je založená na matematických vztazích. Michael s Filipem se rozhodli, že se na magii hudby podívají vědeckýma očima.
Psal se rok 1623. Slavný italský astronom Galileo Galilei po řadě pozorování objektů na noční obloze dospěl k závěru, že celý vesmír je napsán řečí matematiky. Také mnozí vědci a myslitelé, kteří přišli po něm, se zamýšleli nad skutečností, jak rozsáhle ovlivňují vědu i společnost matematické myšlenky a zákony.
Většinu z nás však ještě víc překvapuje zjištění, o němž je také dnešní PORT. Že i hudba se svými vášněmi a city je založená na matematických vztazích. Michael s Filipem se rozhodli, že se na magii hudby dnes podívají vědeckýma očima. Ale co je to vlastně zvuk?
Na rozdíl od elektromagnetických vln, například světla, je zvuk mechanické vlnění. Zdroj zvuku šíří své kmity do okolí hmotným prostředím, třeba vzduchem nebo vodou. To se podle kmitů střídavě zhustí a zředí. Vysoké zvuky – a v hudbě tóny – mají vyšší frekvenci kmitů. U nižších zvuků – a hudebních tónů – je kmitání nižší. U slabých zvuků je zhuštění vzduchu ve vlnách nižší, mají nižší akustický tlak a tedy nižší zvukovou energii než zvuky silnější.
Michael: Vezměme si například tón zvaný malé c. Tento tón má frekvenci asi 262 Hz. Znamená to, že když zahrajeme malé c, udeří na vaše ucho každou sekundu 262 vlnek vyššího tlaku vzduchu.
Filip: Jinak řečeno, tyto vlnky vzduchu přicházejí jedna za druhou tak rychle, že každá z nich dopadne na váš ušní bubínek každou čtyřtisícinu sekundy.
Příchod vrcholů jednotlivých zvukových vlnek “malého c“ si můžeme znázornit v tomto jednoduchém grafu. Na vodorovné časové ose se objevuje značka každých pět tisícin sekundy. Křížky představují vždy další vrcholek zvukové vlny, který nastupuje každou čtyřtisícinu sekundy.
Michael: A nyní si vezmeme dva tóny, které jsou od sebe vzdáleny jednu oktávu. Třeba malé c, které známe, a c1.
Filip: Tato dvojice tónů bývá často užívána například v populární hudbě.
Michael: For High C, the wave pockets of pressurized air are now arriving at your ears about once every 0.002 seconds.
U c1 přicházejí vzduchové vlny stlačeného vzduchu do vašeho ucha asi každé 0,002 sekundy.
Tuto skutečnost názorně potvrdí i náš jednoduchý graf. Jak vidíte, příchod vrcholku každé nové vlnky malého c odpovídá příchodu dvou vrcholků vlnek, patřících vyššímu tónu c1. Proto tyto dva tóny jsou si tak podobné, znějí téměř shodně. Vrcholky jejich vlnek jsou dokonale synchronizovány.
Filip: Některé tóny spolu znějí dobře a jiné zase ne. Čím to je?
Michael: Tak vezměme si zase malé c a malé g. Spolu znějí dobře, že jo?
Filip: No, to je libozvučné.
Michael: Ale víte, proč?
Jak vidíte, příchod každé druhé vlny malého c se perfektně shoduje s nástupem každé čtvrté vlny malého g. Také průběhy těchto dvou zvukových vln tedy spolu velmi dobře ladí. Oba tóny se dobře doplňují. Proto tóny c a g se objevují i v mnoha hudebních skladbách. Na c a g začíná například hlavní hudební motiv známých Hvězdných válek.
Michael: By contrast, the notes C and F-Sharp, when combined, don't make a nice noise.
Oproti tomu tón c v kombinaci s fis netvoří příliš hezký zvuk.
Filip: To skutečně nezní hezky. A čím to je?
Jak vidíte, vrcholy vln obou tónů k sobě skutečně „neladí“. Od prvního společného úderu se prostě nesetkají ve stejném okamžiku. Tyto základní matematické pravdy fungují bez ohledu na oblíbený hudební styl kohokoli z nás.
Někteří skladatelé použili matematickou teorii a postupy jako základ při komponování svých skladeb. Patřil k nim i francouzský impresionista Claude Debussy. Vycházel přitom z takzvané Fibonacciho posloupnosti. Leonardo Fibonacci byl středověký italský matematik. Mladý Leonardo se svým otcem často cestoval do Alžírska. Tam si brzy uvědomil, že základní aritmetika, používající arabské číslice, je mnohem jednodušší, než soustava číslic římských, které se do té doby užívaly běžně v Evropě. Roku 1202 ve své Knize počtů představil arabskou číselnou soustavu Evropanům.
Leonardo Fibonacci poprvé popsal tuto nekonečnou řadu čísel. Po něm také dostala pojmenování – Fibonacciho posloupnost. O čtyři staletí později slavný astronom Johannes Kepler zjistil, že podíl dvou po sobě jdoucích členů Fibonacciho posloupnosti se blíží hodnotě zlatého řezu, důležitého pro malíře i fotografy. Zákonitosti a projevy Fibonacciho posloupnosti, které znali už starověcí Egypťané, se vyskytují v rostlinné a především živočišné říši. Podle nich jsou do spirál uspořádány lístky, šišky, ulity, rohy i semeníky slunečnic.
Autoři: Vladimír Kunz, Michael Londesborough